Question

5．已知函数$f（x）=1-2{sin^2}（x+\frac{π}{8}）+2sin（x+\frac{π}{8}）cos（x+\frac{π}{8}）$．
（1）求f（x）的最小正周期及单调增区间；
（2）求f（x）在区间$[{-\frac{π}{4}，\frac{3π}{8}}]$上的最值．

Answer 1

分析 （1）由两角和的正弦公式、二倍角余弦公式变形化简解析式，由余弦函数的性质和整体思想，求出f（x）的最小正周期及单调增区间；
（2）由x的范围求出“2x”的范围，由正弦函数的性质，求出f（x）在区间$[{-\frac{π}{4}，\frac{3π}{8}}]$上的最值．

解答 解：（1）$f（x）=1-2si{n}^{2}（x+\frac{π}{8}）+2sin（x+\frac{π}{8}）cos（x+\frac{π}{8}）$
=$1-[1-cos（2x+\frac{π}{4}）]+sin（2x+\frac{π}{4}）$
=$cos（2x+\frac{π}{4}）+sin（2x+\frac{π}{4}）$=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}+\frac{π}{4}）$
=$\sqrt{2}cos2x$
所以f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，
由-π+2kπ≤2x≤2kπ（k∈z）得，$-\frac{π}{2}+kπ≤x≤kπ（k∈z）$，
所以f（x）的单调增区间是$[-\frac{π}{2}+kπ，kπ]（k∈z）$；
（2）由$x∈[-\frac{π}{4}，\frac{3π}{8}]$得，$2x∈[-\frac{π}{2}，\frac{3π}{4}]$，
则$cos2x∈[-\frac{\sqrt{2}}{2}，1]$，即$f（x）=\sqrt{2}cos2x∈[-1，\sqrt{2}]$，
所以f（x）在区间$[{-\frac{π}{4}，\frac{3π}{8}}]$上的最大值是$\sqrt{2}$、最小值是-1．

点评 本题考查正弦函数的性质，两角和的正弦公式、二倍角余弦公式变形等，及三角形的周期公式的应用，考查整体思想，化简、变形能力．