Question

16．已知f（x）是定义在R的偶函数，且当x≥0时$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（x+1）$．
（1）求f（0）、f（-1）的值；  
（2）求f（x）的表达式；
（3）若f（a-1）＜f（3-a），试求a取值范围．

Answer 1

分析 （1）将x=0，x=-1带入直接计算．
（2）利用定义在R的偶函数，f（-x）=f（x）即可求解．
（3）对a的范围分段讨论计算．

解答 解：（1）∵当x≥0时，$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（x+1）$．∴f（0）=0．
f（x）是定义在R的偶函数，f（-1）=f（1），
f（1）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（1+1）$=-1．
∴f（-1）=-1．
（2）f（x）是定义在R的偶函数，当x＜0时，则-x＞0，
∴f（x）=f（-x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（-x+1）$
故f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{2}}（x+1），（x≥0）}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}（-x+1），（x＜0）}\end{array}\right.$
（3）由偶函数的区间对称性的单调性具有相反性，可得：$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（x+1）$在区间[0，+∞）是减函数，在（-∞，0）是增函数．
由于f（a-1）＜f（3-a），所以：|a-1|＞|3-a|．
解得：a＞2．

点评 本题考查了函数的奇偶性和对数函数的单调性的综合运用，还考查了分段函数的解析式以及转化思想．属于中档题．