Question

10．在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2asinθ（a≠0），以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=t+2\\ y=2t+3\end{array}\right.$（θ为参数）．
（1）求圆C的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）若直线l与圆C恒有公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}x=t+2\\ y=2t+3\end{array}\right.$消去参数t可得：直线的普通方程为2x-y-1=0．由ρ=2asinθ（a≠0）得：ρ²=2aρsinθ，利用互化公式可得直角坐标方程．
（2）由直线与圆C恒有公共点，根据圆心到直线的距离与半径的关系利用点到直线的距离公式即可得出．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}x=t+2\\ y=2t+3\end{array}\right.$消去参数t得：$x-2=\frac{y-3}{2}$，
∴直线的普通方程为2x-y-1=0．
由ρ=2asinθ（a≠0）得：ρ²=2aρsinθ，
∴x²+y²=2ay，
∴圆C的平面直角坐标方程为x²+（y-a）²=a²．
（2）∵直线与圆C恒有公共点，
∴$\frac{|-a-1|}{{\sqrt{5}}}≤|a|$．
解得：$a≥\frac{{1+\sqrt{5}}}{4}$或$a≤\frac{{1-\sqrt{5}}}{4}$．
∴a的取值范围是$（-∞，\frac{{1-\sqrt{5}}}{4}]∪[\frac{{1+\sqrt{5}}}{4}，+∞）$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．