Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且a＞c，已知△ABC的面积S=

3

2

，cosB=

4

5

，b=3

2

．
（1）求a和c的值；
（2）求cos（B-C）的值．

Answer 1

考点：余弦定理,两角和与差的余弦函数,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）利用同角三角函数基本关系式可得sinB，再利用三角形的面积计算公式、余弦定理即可得出；
（2）利用正弦定理可得sinC，利用同角三角函数基本关系式、两角和差的余弦公式即可得出．

解答： 解：（1）∵cosB=

4

5

＞0，
∴0＜B＜

π

2

，
∴sinB=

1-cos2B

=

3

5

，
由S=

1

2

acsinB=

3

2

，得ac=5．
由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，
∴a²+c²=26，
联立

ac=5 a2+c2=26

，结合a＞c，解得a=5，c=1．
（2）由正弦定理知

b

sinB

=

c

sinC

，
∴sinC=

csinB

b

=

2

10

，
∵a＞c，∴0＜C＜

π

2

，
∴cosC=

1-sin2C

=

7 2

10

，
∴cos（B-C）=cosBcosC+sinBsinC=

4

5

×

7 2

10

+

3

5

×

2

10

=

31 2

50

．

点评：本题考查了正弦定理、余弦定理、同角三角函数基本关系式、两角和差的余弦公式、三角形的面积计算公式，属于中档题．