Question

6．如图，旅客从某旅游区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟，在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长1260米，经测量，cosA=$\frac{12}{13}$，cosC=$\frac{3}{5}$．
（1）求索道AB的长；
（2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理即可确定出AB的长；
（2）设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130t m，由余弦定理即可得解．

解答 解：（1）在△ABC中，因为cosA=$\frac{12}{13}$，cosC=$\frac{3}{5}$，所以sinA=$\frac{5}{13}$，sinC=$\frac{4}{5}$，
从而sinB=sin[π-（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=$\frac{5}{13}$×$\frac{3}{5}+\frac{12}{13}×\frac{4}{5}$=$\frac{63}{65}$，
由正弦定理$\frac{AB}{sinC}$=$\frac{AC}{sinB}$，得AB=$\frac{AC•sinC}{sinB}$=$\frac{1260×\frac{4}{5}}{\frac{63}{65}}$=1040m．
所以索道AB的长为1040m．
（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130t m，
所以由余弦定理得：d²=（100+50t）²+（130t）²-2×130t×（100+50t）×$\frac{12}{13}$=200（37t²-70t+50）=200[37（t-$\frac{35}{37}$）²+$\frac{625}{37}$]，
因0≤t≤$\frac{1040}{130}$，即0≤t≤8，
故当t=$\frac{35}{37}$min时，甲、乙两游客距离最短．

点评 此题考查了余弦定理，锐角三角函数定义，以及勾股定理，利用了分类讨论及数形结合的思想，属于解直角三角形题型．