Question

2．在下列三个命题中，真命题的个数是（　　）
①?x₀∈Z，x₀³＜0；
②方程ax²+2x+1=0至少有一个负实数根的充分条件是a=0；
③抛物线y=4x²的准线方程是：y=1．

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 ①，x₀为负整数时，x₀³＜0；
②，过讨论a的范围结合二次函数的性质分别证明其充分性和必要性即可；
③，抛物线y=4x²的标准方程为x²=$\frac{1}{4}$y，准线方程是：y=-$\frac{1}{16}$．

解答 解：对于①，x₀为负整数时，x₀³＜0，故正确；
对于②，a=0时，方程ax²+2x+1=0变形为2x+1=0⇒x=-$\frac{1}{2}$，满足充分性；
当方程ax²+2x+1=0至少有一负根时，a＜0时，△=4-4a＞0，方程ax²+2x+1=0有2个不相等的实数根，且两根之积为$\frac{1}{a}$＜0，方程两根一正一负，符合题意，
当0＜a≤1时，△=4-4a≥0，方程ax²+2x+1=0有实数根且$-\frac{2}{a}＜0，\frac{1}{a}＞0$，故方程两根均为负，符合题意，故方程ax²+2x+1=0至少有一负根的充要条件是a≤1，故正确；
对于③，抛物线y=4x²的标准方程为x²=$\frac{1}{4}$y，准线方程是：y=-$\frac{1}{16}$，故错．
故选：C

点评 本题考查了命题真假的判定，属于基础题．