Question

4．已知函数$f（x）=\frac{{{x^2}+m}}{x}$，且f（1）=2，
（1）判断函数的奇偶性；
（2）判断函数f（x）在（0，1]的增减性，并用单调性定义证明之；
（3）若f（k）＞2，求k的取值范围．

Answer 1

分析 由f（1）=2，求出m的值，写出f（x）的解析式；
（1）利用奇偶性的定义判断f（x）定义域上的奇函数；
（2）利用定义证明f（x）在（0，1]上是单调减函数；
（3）同理可证f（x）是[1，+∞）上的单调增函数，
再由单调性的定义转化不等式f（k）＞2，从而求出k的取值范围．

解答 解：由f（1）=2，
得$\frac{{1}^{2}+m}{1}$=2，
解得m=1；…（1分）
∴f（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{x}$=x+$\frac{1}{x}$；
（1）∵f（x）定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称；
且$f（-x）=（-x）+\frac{1}{-x}=-（x+\frac{1}{x}）=-f（x）$，
∴f（x）是定义域上的奇函数；…（4分）
（2）f（x）在（0，1]上是单调减函数；
证明：设x₁，x₂是（0，1]上的任意两个实数，且x₁＜x₂…（5分）
则$f（{x_2}）-f（{x_1}）=（{x_2}+\frac{1}{x_2}）-（{x_1}+\frac{1}{x_1}）$…（6分）
=$（{x_2}-{x_1}）+（\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_1}）$
=$（{x_2}-{x_1}）+\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}$
=$（{x_2}-{x_1}）（1-\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}）$；…（7分）
∵0＜x₁＜x₂≤1，
∴${x_2}-{x_1}＞0，0＜{x_1}{x_2}＜1，1-\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}＜0$；…（8分）
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴f（x₁）＞f（x₂）；…（9分）
∴f（x）在（0，1]上是单调减函数．…（10分）
（3）同理可证f（x）在[1，+∞）上是单调增函数；…（11分）
由f（k）＞2得f（k）＞f（1），…（12分）
∴k＞1或0＜k＜1；…（13分）
即所求k的取值范围是（0，1）∪（1，+∞）．                  …（14分

点评 本题考查了函数的奇偶性与单调性的定义与应用问题，是综合性题目．