Question

3．如图，已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点．
（Ⅰ）若AB=6$\sqrt{2}$，PA=4$\sqrt{2}$，OP=3，求⊙O的半径；
（Ⅱ）若C是圆O上一点，且CA=CB，线段CE交AB于D．求证：△CAD～△CEA．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接OA，设OA=r，取AB中点F，连接OF，则OF⊥AB，利用勾股定理求出⊙O的半径；
（Ⅱ）利用CA=CB，得出∠CAD=∠B，利用三角形相似的判定定理证明：△CAD～△CEA．

解答 解：（Ⅰ）连接OA，设OA=r
取AB中点F，连接OF，则OF⊥AB，
∵$AB=6\sqrt{2}，PA=4\sqrt{2}$，∴$AF=3\sqrt{2}$，
∴$PB=2\sqrt{2}，FP=\sqrt{2}$．…（2分）
又OP=3，Rt△OFP中，OF²=OP²-FP²=9-2=7，…（4分）
Rt△OAF中，${r^2}=O{A^2}=A{F^2}+O{F^2}={（3\sqrt{2}）^2}+7=25$，…（6分）
∴r=5
证明：（Ⅱ）∵CA=CB，
∴∠CAD=∠B
又∵∠B=∠E，
∴∠CAD=∠E…（8分）
∵∠ACE为公共角，
∴△CAD∽△CEA…（10分）

点评 本题考查三角形相似的判定与性质，考查勾股定理的运用，属于中档题．