题目内容

6．函数f（x）=x3-3ax+a在（0，2）内有最小值，则实数a的取值范围是（　　）
A．[0，4）B．（0，1）C．（0，4）D．（-4，4）

分析 求导，函数y=x3-3ax+a在（0，2）内有最小值，导函数在（0，2）内至少有一个实数根，从而求得实数a的取值范围．

解答 解：对于函数y=x3-3ax+a，求导可得y′=3x2-3a，
∵函数y=x3-3ax+a在（0，2）内有最小值，
∴y′=3x2-3a=0，则其有一根在（0，2）内，
a＞0时，3x2-3a=0两根为±$\sqrt{a}$，
若有一根在（0，2）内，则0＜$\sqrt{a}$＜2，
即0＜a＜4，
a=0时，3x2-3a=0两根相等，均为0，f（x）在（0，2）内无最小值，
a＜0时，3x2-3a=0无根，f（x）在（0，2）内无最小值，
综合可得，0＜a＜4，
故选：C．

点评 考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属中档题．

练习册系列答案
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A．2B．$2\sqrt{3}$C．$2\sqrt{6}$D．$\frac{{7\sqrt{6}}}{3}$

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