Question

9．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率是$\frac{1}{2}$，过点$P（0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l平行与x轴时，直线l被椭圆截得的线段长为$2\sqrt{3}$．（F₁，F₂分别为左，右焦点）
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过F₂的直线l′交椭圆于不同的两点M，N，则△F₁MN内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线l′方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题可得：$\left\{\begin{array}{l}e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}\\ \frac{3}{a^2}+\frac{3}{{4{b^2}}}=1\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），不妨设y₁＞0，y₂＜0，设△F₁MN的内切圆半径是R，则△F₁MN的周长是4a=8，${S_{△{F_1}MN}}=\frac{1}{2}（{MN+{F_1}M+{F_1}N}）R=4R$，因此${S_{△{F_1}MN}}$最大，R就最大，${S_{△{F_1}MN}}=\frac{1}{2}{F_1}{F_2}•|{{y_1}-{y_2}}|=|{{y_1}-{y_2}}|$．由题知，直线的斜率不为0，可设直线的方程为x=my+1，与椭圆方程联立得，（3m²+4）y²+6my-9=0，解出可得面积，通过换元再利用导数研究函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）由题知椭圆过点$（{\sqrt{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$．
由题可得：$\left\{\begin{array}{l}e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}\\ \frac{3}{a^2}+\frac{3}{{4{b^2}}}=1\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.$，解得：$a=2，b=\sqrt{3}，c=1$．
所以，椭圆方程为：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），不妨设y₁＞0，y₂＜0，
设△F₁MN的内切圆半径是R，则△F₁MN的周长是4a=8，
${S_{△{F_1}MN}}=\frac{1}{2}（{MN+{F_1}M+{F_1}N}）R=4R$，因此${S_{△{F_1}MN}}$最大，R就最大，
${S_{△{F_1}MN}}=\frac{1}{2}{F_1}{F_2}•|{{y_1}-{y_2}}|=|{{y_1}-{y_2}}|$．
由题知，直线的斜率不为0，可设直线的方程为x=my+1，
由$\left\{\begin{array}{l}x=my+1\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$得，（3m²+4）y²+6my-9=0，
解得${y_1}=\frac{{-3m+6\sqrt{{m^2}+1}}}{{3{m^2}+4}}，{y_2}=\frac{{-3m-6\sqrt{{m^2}+1}}}{{3{m^2}+4}}$，
则${S_{△{F_1}MN}}=\frac{1}{2}|{{F_1}{F_2}}|（{{y_1}-{y_2}}）={y_1}-{y_2}=\frac{{12\sqrt{{m^2}+1}}}{{3{m^2}+4}}$，令$t=\sqrt{{m^2}+1}$，则t≥1，
${S}_{△{F}_{1}MN}$=$\frac{12}{3t+\frac{1}{t}}$，
设$f（t）=3t+\frac{1}{t}，f'（t）=3-\frac{1}{t^2}$，f（t）在[1，+∞）上单调递增，
所以，f（t）≥f（1）=4，${S_{△{F_1}MN}}≤\frac{12}{4}=3$，
因为${S_{△{F_1}MN}}=4R$，所以${R_{max}}=\frac{3}{4}$，此时所求内切圆的面积最大值是$\frac{9π}{16}$，
故直线方程为x=1时，△F₁MN内切圆面积最大值是$\frac{9π}{16}$．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、三角形面积计算公式、三角形内切圆的性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．