Question

8．已知函数f（x）=2^x+2^-x．
（Ⅰ）试写出这个函数的性质（不少于3条，不必说明理由），并作出图象；
（Ⅱ）设函数g（x）=4^x+4^-x-af（x），求这个函数的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）列出函数的偶函数；定义域R；值域；单调递增区间，单调递减区间，选择3项即可，画出图象．
（Ⅱ）设2^x+2^-x=t（t≥2），则4^x+4^-x=t²-2，设k（t）=t²-2-at=t²-at-2，通过a与2讨论，利用二次函数的最值求解即可．

解答 解：（Ⅰ）偶函数；定义域R；值域{y|y≥2}；
单调递增区间：（0，+∞），单调递减区间：（-∞，0）等-----（4分）
图象如图：．-----（6分）
（Ⅱ）设2^x+2^-x=t（t≥2），则4^x+4^-x=t²-2，设k（t）=t²-2-at=t²-at-2，
?$\frac{a}{2}≤2，即a≤4$时，k（t）_min=k（2）=2-2a；
?$\frac{a}{2}＞2，即a＞4$时$k{（t）_{min}}=k（\frac{a}{2}）=-\frac{a^2}{4}-2$．
所以，?$\frac{a}{2}≤2，即a≤4$时，g（x）_min=2-2a；
?$\frac{a}{2}＞2，即a＞4$时$g{（x）_{min}}=-\frac{a^2}{4}-2$．----（12分）

点评 本题考查函数与方程的应用，二次函数的性质，函数的图象的应用，考查转化思想以及分类讨论思想的应用．