Question

2．已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为两切点，求$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$-3
• B． 2$\sqrt{2}$-1
• C． 2$\sqrt{2}$+3
• D． 2$\sqrt{2}$+1

Answer 1

分析 要求$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值，我们可以根据已知中，圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，结合切线长定理，设出PA，PB的长度和夹角，并将$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$表示成一个关于x的函数，然后根据求函数最值的办法，进行解答．

解答 解：如图所示：设OP=x（x＞0），
则PA=PB=$\sqrt{{x}^{2}-1}$，
∠APO=α，则∠APB=2α，sinα=$\frac{1}{x}$，
$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|cos2α=$\sqrt{{x}^{2}-1}$•$\sqrt{{x}^{2}-1}$（1-2sin²α）
=（x²-1）（1-$\frac{2}{{x}^{2}}$）=x²+$\frac{2}{{x}^{2}}$-3≥2$\sqrt{2}$-3，
∴当且仅当x²=$\sqrt{2}$时取“=”，故$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值为2$\sqrt{2}$-3．
故选A．

点评 本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法，同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力．