Question

已知函数为自然对数的底数）．

（1）求曲线在处的切线方程；

（2）若是的一个极值点，且点，满足条件：

.

（ⅰ）求的值；

（ⅱ）求证：点，，是三个不同的点，且构成直角三角形．

 

Answer 1

（1）；（2），证明略．

【解析】

试题分析：

解题思路：（1）求导，利用导数的几何意义求切线斜率，进而写出切线方程；（2）求导，令导函数为零，求得极值即可，利用的值进行判断 .

规律总结：（1）导数的几何意义求切线方程：；（2）利用导数研究函数的性质是常见题型，主要是通过导数研究函数的单调性、求单调区间、求极值、最值以及不等式恒成立等问题，往往计算量较大，思维量大，要求学生有较高的逻辑推理能力.

试题解析:（1），

，又，

所以曲线在处的切线方程为，

即.

（2）（ⅰ）对于，定义域为．

当时，，，∴；

当时，；

当时，，，∴，

所以存在唯一的极值点，∴，则点为.

（ⅱ）若，则，，

与条件不符，从而得．

同理可得.

若，由，此方程无实数解，

从而得.

由上可得点两两不重合，又

从而,点可构成直角三角形

考点：1.导数的几何意义；2.函数的极值；3.三角形形状的判定.