Question

已知函数∈R）．

（1）若，求点（）处的切线方程；

（2）设a≤0，求的单调区间；

（3）设a＜0，且对任意的，≤，试比较与的大小．

 

Answer 1

（1）2x－2y－3＝0;（2）递增区间（0，），递减区间（，＋∞）；（3）ln（－a）＜－2b.

【解析】

试题分析：（1）a＝b＝1时，直接求导数，可得f '（1）和f（1）的值，利用点斜式可写出切线方程；（2）a＜0时，根据b的范围和导函数值的符号，可求出相应单调区间；（3）由题意知函数f（x）在x＝2处取得最大值，得到a与b的等量关系式，然后比差，再利用函数的思想，得出ln（－a）与－2b的大小.

试题解析：（1）a＝b＝1时，，，

∴，， 2分

故f（x）点（1，f（1））处的切线方程是2x－2y－3＝0． 3分

（2）由，得．

（1）当a＝0时，．

①若b≤0，

由x＞0知恒成立，即函数f（x）的单调递增区间是（0，＋∞）．

5分

②若b＞0，

当时，；当时，．

即函数f（x）的单调递增区间是（0，），单调递减区间是（，＋∞）．

7分

（2）当a＜0时，，得，

由△＝b2－4a＞0得．

显然，，

当时，，函数f（x）的单调递增，

当时，，函数的单调递减，

所以函数f（x）的单调递增区间是（0，），

单调递减区间是（，＋∞）． 9分

综上所述：

当a＝0，b≤0时，函数f（x）的单调递增区间是（0，＋∞）；

当a＝0，b＞0时，函数f（x）的单调递增区间是（0，），单调递减区间是（，＋∞）；

当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间是（0，），

单调递减区间是（，＋∞）． 10分

（3）由题意知函数f（x）在x＝2处取得最大值．

由（2）知，是f（x）的唯一的极大值点，

故＝2，整理得－2b＝－1－4a．

于是

令，则．

令，得，当时，，g（x）单调递增；

当时，，g（x）单调递减．

因此对任意x＞0，g（x）≤，又－a＞0，

故g（－a）＜0，即ln（－a）＋1＋4a＜0，即ln（－a）＜－1－4a＝－2b，

∴ ln（－a）＜－2b． 14分

考点：利用导数研究函数性质，不等式