Question

2．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（2-[x]•|x-1|，（0≤x＜2）}\\{1，（x=2）}\end{array}\right.$，其中[x]表示不超过x的最大整数．设n∈N*，定义函数f_n（x）：f₁（x）=f（x），f₂（x）=f（f₁（x）），…，f_n（x）=f（f_n-1（x））（n≥2），则下列说法正确的有（　　）个
①$y=\sqrt{x-f（x）}$的定义域为$[{\frac{2}{3}，2}]$；
②设A={0，1，2}，B={x|f₃（x）=x，x∈A}，则A=B；
③${f_{2016}}（{\frac{8}{9}}）+{f_{2017}}（{\frac{8}{9}}）=\frac{13}{9}$；
④若集合M={x|f₁₂（x）=x，x∈[0，2]}，则M中至少含有8个元素．

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①根据x-f（x）≥0对x分区间讨论求解；
②逐个代入求值判断即可；
③通过为$f（{\frac{8}{9}}）=\frac{2}{9}，f（{\frac{2}{9}}）=\frac{14}{9}，f（{\frac{14}{9}}）=\frac{5}{9}，f（{\frac{5}{9}}）=\frac{8}{9}$，即${f_5}（{\frac{8}{9}}）={f_1}（{\frac{8}{9}}），T=4$，根据周期求解即可；
④根据前三问结果判断得出结果．

解答 解：①x-f（x）≥0，当0≤x＜1时，$[x]=0，f（x）=2（{1-x}）≤x⇒x≥\frac{2}{3}$，
所以$\frac{2}{3}≤x＜1$；
当1≤x＜2时，[x]=1，f（x）=x-1≤x成立，
所以1≤x＜2；
当x=2时，f（x）=1≤2成立，
所以$\frac{2}{3}≤x＜1$；
因此定义域为$[{\frac{2}{3}，2}]$；
②f（1）=0，f（0）=2，f（2）=1
∴1∈B；
f（0）=2，f（2）=1，f（1）=0，
∴0∈B；
f（2）=1，f（1）=0，f（0）=2，
∴2∈B，
因此A=B；
③因为$f（{\frac{8}{9}}）=\frac{2}{9}，f（{\frac{2}{9}}）=\frac{14}{9}，f（{\frac{14}{9}}）=\frac{5}{9}，f（{\frac{5}{9}}）=\frac{8}{9}$，即${f_5}（{\frac{8}{9}}）={f_1}（{\frac{8}{9}}），T=4$，因此${f_{2016}}（{\frac{8}{9}}）=\frac{8}{9}，{f_{2017}}（{\frac{8}{9}}）=\frac{2}{9}⇒{f_{2016}}（{\frac{8}{9}}）+{f_{2017}}（{\frac{8}{9}}）={f_4}（{\frac{8}{9}}）+{f_1}（{\frac{8}{9}}）=\frac{10}{9}$；
④由上可知$0，1，2，\frac{8}{9}，\frac{2}{9}，\frac{14}{9}，\frac{5}{9}$为M中元素，又$f（{\frac{2}{3}}）=\frac{2}{3}$，所以M中至少含有8个元素．
综上共有3个正确说法，
故选C．

点评 本题是对新定义类型函数的考查，难点是对新定义的正确理解和应用．