Question

14．在区间[0，2]上任取两个实数a，b，则函数f（x）=x²+ax-$\frac{1}{4}$b²+1在R上没有零点的概率是（　　）

• A． $\frac{π}{8}$
• B． $\frac{4-π}{4}$
• C． $\frac{4-π}{8}$
• D． $\frac{π}{4}$

Answer 1

分析 结合一元二次函数的性质求出函数在区间（-1，1）没有零点的等价条件，利用几何概型的概率公式即可得到结论

解答 解：在区间[0，2]上任取两个数a，b，
则$\left\{\begin{array}{l}{0≤a≤2}\\{0≤b≤2}\end{array}\right.$，对应的平面区域为边长为2的正方形，面积为2×2=4，
∴要使函数f（x）=x²+ax-$\frac{1}{4}$b²+1在R没有零点，则$△={a}^{2}-4（-\frac{1}{4}{b}^{2}+1）={a}^{2}+{b}^{2}-4＜0$，即a²+b²＜4，
作出不等式对应的平面区域如图：（阴影部分），
对应的面积S=$\frac{1}{4}×πx{2}^{2}=π$，
则对应的概率P=$\frac{π}{4}$；
故选：D．

点评 本题主要考查几何概型的概率计算，根据函数没有零点的等价条件求出a，b的区域是解决本题的关键．利用数形结合是解决本题的突破．