Question

如图所示，已知椭圆C的离心率为，A、B、F分别为椭圆的右顶点、上顶点、右焦点，且．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线l：y=kx+m被圆O：x²+y²=4所截弦长为，若直线l与椭圆C交于M、N两点．求△OMN面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出椭圆方程，利用椭圆C的离心率为，，建立方程，联立，即可求椭圆C的方程；
（2）直线l：y=kx+m被圆O：x²+y²=4所截弦长为，确定m，k的关系，直线代入椭圆方程，表示出面积，换元，利用配方法，即可确定结论．
解答：解：（1）设方程为（a＞b＞0），则A（a，0），B（0，b），
F（c，0）
∵椭圆C的离心率为，
∴=
∴a=2b，∴①
∵②
∴联立①②，解得b=1，c=
∴a=2，
∴椭圆的方程为；
（2）圆O的圆心为坐标原点，半径为2，
∵直线l：y=kx+m被圆O：x²+y²=4所截弦长为，
∴=1
∴m²=1+k²③
直线l代入椭圆方程，可得（）x²+2kmx+m²-1=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=，
∴==④
③代入④可得=，∴|x₁-x₂|=
∴|MN|==
∴=
令t=4k²+1≥1，则
代入上式的，S=
∴t=3，即4k²+1=3，解得时，S取得最大值为1．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．