Question

11．双曲线焦点在坐标轴上，两条渐近线方程为2x±y=0，那么它的离心率是$\sqrt{5}$或$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 双曲线的焦点在x轴时，由渐近线方程可得b=2a，离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$，当双曲线的焦点在y轴时，可得a=2b，同理即可求得焦点在y上的双曲线的离心率．

解答 解：当双曲线的焦点在x轴时，渐近线为y=±$\frac{b}{a}$x=±2x，即$\frac{b}{a}$=2，
变形可得b=2a，可得离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{5}$，
当双曲线的焦点在y轴时，渐近线为y=±$\frac{a}{b}$x=±2x，即$\frac{a}{b}$=2，
变形可得a=2b，可得离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴双曲线的离心率为：$\sqrt{5}$或$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案为：$\sqrt{5}$或$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查双曲线的离心率，涉及双曲线的渐近线，和分类讨论的思想，属中档题．