题目内容

已知圆心角为120°的扇形AOB的半径为1，C为弧AB的中点，点D、E分别在半径OA、OB上．若CD²+CE²+DE²= $数学公式$ ，则OD+OE的最大值是________．

$\text{[math]}$
分析：设OD=a且OE=b，由余弦定理加以计算，可得CD²+CE²+DE²=2（a²+b²）-（a+b）+ab+2= $\text{[math]}$ ，配方整理得3ab=2（a+b）²-（a+b）- $\text{[math]}$ ，结合基本不等式建立不等关系，得2（a+b）²-（a+b）- $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ （a+b）²，最后以a+b为单位解一元二次不等式，即可得到OD+OE的最大值．
解答：设OD=a，OE=b，由余弦定理，得

CD²=CO²+DO²-2CO•DOcos60°=a²-a+1．
同理可得CE²=b²-b+1，DE²=a²+ab+b²
从而得到CD²+CE²+DE²=2（a²+b²）-（a+b）+ab+2= $\text{[math]}$
∴2（a²+b²）-（a+b）+ab- $\text{[math]}$ =0，
配方得2（a+b）²-（a+b）-3ab- $\text{[math]}$ =0，即3ab=2（a+b）²-（a+b）- $\text{[math]}$ …（*）
又∵ab≤[ $\text{[math]}$ （a+b）]²= $\text{[math]}$ （a+b）²，
∴3ab≤ $\text{[math]}$ （a+b）²，代入（*）式，得2（a+b）²-（a+b）- $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ （a+b）²，
设a+b=m，代入上式有2m²-m- $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ m²，
即 $\text{[math]}$ m²-m- $\text{[math]}$ ≤0，得到- $\text{[math]}$ ≤m≤ $\text{[math]}$ ，
∴m最大值为 $\text{[math]}$ ，即OD+OE的最大值是 $\text{[math]}$ ．
点评：本题给出扇形AOB的中心角为120°，弧AB中点为C，半径OA、OB上的点D、E满足CD²+CE²+DE²= $\text{[math]}$ 时，求OD+OE的最大值．着重考查了余弦定理、用基本不等式求最值和一元二次不等式的解法等知识，属于中档题．