Question

函数f(x)=

2x-1

2x+1

（x∈R）．
（1）判断并证明函数f（x）的单调性；
（2）解不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0．

Answer 1

分析：（1）利用单调性的定义，在定义域中任取两个实数x₁，x₂，且x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂）后化简，判断即可；
（2）利用（1）中函数的单调性质，脱去“外衣”，即可求得原不等式的解集．

解答：解：（1）函数f（x）在R上为单调增函数．
证明：f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，
在定义域中任取两个实数x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

；
∵x₁＜x₂，
∴0＜2x1＜2x2，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0．
∴函数f（x）在R上为单调增函数．…（10分）
（2）∵f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-f（x），
∴函数f（x）为奇函数．…（13分）
∴f（1-m）+f（1-m²）＜0即f（1-m）＜-f（1-m²），
∴f（1-m）＜f（m²-1），1-m＜m²-1，m²+m-2＞0，m＜-2或m＞1．
∴原不等式的解集为（-∞，-2）∪（1，+∞）．…（16分）

点评：本题考查函数单调性的判断与证明，考查转化思想与推理运算的能力，属于中档题．