Question

12．函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象如图所示，（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$），则下列关于函数f（x）的说法中正确的是②③（写出所有正确的序号）

①函数f（x）的对称中心是（-$\frac{π}{6}$+2kπ，0）（k∈Z）
②函数f（x）的解析式是f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）
③函数f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值为$\frac{1}{2}$；
④把函数f（x）图象上每一点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{3}$倍，纵坐标不变，所得函数的图象关于y轴对称．

Answer 1

分析 根据函数的图象求出f（x）的解析式，几次考察各项可得答案．

解答 解：由图象可知A=1，T=2×$（\frac{5π}{6}+\frac{π}{6}）$=2π，
∵T=$\frac{2π}{ω}=2π$，
∴ω=1
可得f（x）=sin（x+φ）
图象过点（$-\frac{π}{6}$，0），故sin（$-\frac{π}{6}$+φ）=0，
解得：φ=$\frac{π}{6}$．
∴函数f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$），∴②对
由对称中心：x+$\frac{π}{6}$=kπ，可得x=k$π-\frac{π}{6}$，函数f（x）的对称中心是（-$\frac{π}{6}$+kπ，0）（k∈Z），∴①不对
x∈[0，$\frac{π}{2}$]上，则x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，当x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$时，f（x）取得最小值为$\frac{1}{2}$，∴③对．
把函数f（x）图象上每一点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{3}$倍，可得g（x）=sin（3x+$\frac{π}{6}$），图象没有关于y轴对称，∴④不对．故②③对．
故答案为：②③

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．