Question

定义符合函数sgnx=

1，x＞0 0，x=0 -1，x＜0

，设函数f（x）=

sgn(1-x)+1

2

f₁（x）+

sgn(x-1)+1

2

f₂（x），x∈（0，2），其中f₁（x）=2^x，f₂（x）=-2x+4，若f（f（a））∈（0，1），则实数a的取值范围是（　　）

• A、（0，log₂

  3

  2

  ）
• B、（

  5

  4

  ，2）
• C、（0，log₂

  3

  2

  ）∪（

  5

  4

  ，2）
• D、（log₂

  3

  2

  ，1）∪（1，

  5

  4

  ）

Answer 1

考点：函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：对不等式分类讨论，即1＜x＜2，x=1，0＜x＜1，分别求出f（x），然后由f（f（a））∈（0，1），即可求出实数a的取值范围．

解答： 解：对不等式分类讨论，即1＜x＜2，x=1，0＜x＜1，分别求出f（x），然后由f（f（a））∈（0，1）
①如果1＜x＜2，f（x）=

sgn(1-x)+1

2

f₁（x）+

sgn(x-1)+1

2

f₂（x）=-2x+4；
②如果x=1时，f（x）=

sgn(1-x)+1

2

f₁（x）+

sgn(x-1)+1

2

f₂（x）=2．
③如果当0＜x＜1时，f（x）=

sgn(1-x)+1

2

f₁（x）+

sgn(x-1)+1

2

f₂（x）=2^x．
综上所述：f（x）=

2x，0＜x＜1 2，x=1 -2x+4，1＜x＜2

，
其图象如图所示：

若f（f（a））∈（0，1），
则f（a）∈（

3

2

，2），
则a∈（log₂

3

2

，1）∪（1，

5

4

），
故选：D

点评：本题考查不等式的解法，考查转化思想，分类讨论思想，解题的关键是确定函数的解析式．