Question

15．当m变化时，不在直线$（1-{m^2}）x+2my-2\sqrt{3}m-2=0$上的点构成区域G，P（x，y）是区域G内的任意一点，则 $\frac{{\frac{3}{2}x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}y}}{{\sqrt{3}\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}$的取值范围是（　　）

• A． （1，2）
• B． [$\frac{1}{2}，1$]
• C． （$\frac{1}{2}，1$）
• D． （2，3）

Answer 1

分析 原方程化为关于m的方程-xm²+（2y-2$\sqrt{3}$）m+x-2=0，x≠0时，△＜0，得（x-1）²+（y-$\sqrt{3}$）²＜1，$\overrightarrow{OM}$，$\overrightarrow{ON}$夹角记作α，直线OM与圆切与M，∠xOM=30°，α∈（0^o，60^o），即可得出．

解答 解：原方程化为关于m的方程-xm²+（2y-2$\sqrt{3}$）m+x-2=0，x≠0时，
△＜0，得（x-1）²+（y-$\sqrt{3}$）²＜1，
$\overrightarrow{OM}$=（$\frac{3}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}$），$\overrightarrow{ON}$=（x，y），$\overrightarrow{OM}$，$\overrightarrow{ON}$夹角记作α，
直线OM与圆切与M，∠xOM=30°，α∈（0^o，60^o），
$\frac{{\frac{3}{2}x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}y}}{{\sqrt{3}\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}$=cosα∈（$\frac{1}{2}，1$）．
故选：C．

点评 本题考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系、直线与圆相切的性质、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．