Question

14．已知关于x的方程2sinx+cosx=m在[0，2π]内有两个不同的解α，β．
（1）求实数m的取值范围；
（2）证明：cos（α-β）=$\frac{2{m}^{2}}{5}$-1．

Answer 1

分析 （1）m=2sinx+cosx=$\sqrt{5}$sin（x+θ），$θ=arctan\frac{1}{2}$，在[0，2π]内有两个不同的解α，β．可得|m|＜$\sqrt{5}$，且m≠1．
（2）不妨设α＜β，则α+β=π-2arcsin$\frac{1}{\sqrt{5}}$，或2π-2arcsin$\frac{1}{\sqrt{5}}$．当α+β=π-2arcsin$\frac{1}{\sqrt{5}}$时，sin（α+β）=$sin（2arcsin\frac{1}{\sqrt{5}}）$=$\frac{4}{5}$，cos（α+β）=-cos（2arcsin$\frac{1}{\sqrt{5}}$）=$-\frac{3}{5}$，由2sinα+cosα=m，2sinβx+cosβ=m，平方可得4sin²α+cos²α+4sinαcosα=m²，4sin²β+cos²β+4sinβcosβ=m²，化为2m²-5=cos（α-β）[4sin（α+β）-3cos（α+β）]，代入即可证明．

解答 （1）解：m=2sinx+cosx=$\sqrt{5}$sin（x+θ），$θ=arctan\frac{1}{2}$，在[0，2π]内有两个不同的解α，β．
∴|m|＜$\sqrt{5}$，且m≠1，
解得$-\sqrt{5}＜m＜\sqrt{5}$，且m≠1．
∴实数m的取值范围是$（-\sqrt{5}，1）$∪$（1，\sqrt{5}）$．
（2）证明：不妨设α＜β，则α+β=π-2arcsin$\frac{1}{\sqrt{5}}$，或2π-2arcsin$\frac{1}{\sqrt{5}}$．
当α+β=π-2arcsin$\frac{1}{\sqrt{5}}$时，sin（α+β）=$sin（2arcsin\frac{1}{\sqrt{5}}）$=$\frac{4}{5}$，cos（α+β）=-cos（2arcsin$\frac{1}{\sqrt{5}}$）=$-\frac{3}{5}$，
∵2sinα+cosα=m，2sinβx+cosβ=m，
∴4sin²α+cos²α+4sinαcosα=m²，
4sin²β+cos²β+4sinβcosβ=m²，
∴2m²-5=3sin²α+2sin2α+3sin²β+2sin2β-3
=$3×\frac{1-cos2α}{2}$+3×$\frac{1-cos2β}{2}$+2sin2α+2sin2β-3
=$-\frac{3}{2}$（cos2α+cos2β）+2（sin2α+sin2β）
=$-\frac{3}{2}×2cos（α+β）$cos（α-β）+4sin（α+β）cos（α-β）
=cos（α-β）[4sin（α+β）-3cos（α+β）]
=5cos（α-β），
∴cos（α-β）=$\frac{2{m}^{2}}{5}$-1．
当α+β=2π-2arcsin$\frac{1}{\sqrt{5}}$，同理可证明上式成立．
综上可得：cos（α-β）=$\frac{2{m}^{2}}{5}$-1．

点评 本题考查了三角函数方程的解法、三角函数求值、倍角公式、和差化积公式，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于难题．