题目内容

已知函数 $数学公式$ （e是自然对数的底数），g（x）=ax（a是实数）．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若在[2，+∞）上至少存在一点x₀，使得f（x₀）＜g（x₀）成立，求a的取值范围．

解：（I）∵ $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$
由 $\text{[math]}$ ，解得x＜0或x＞1
由 $\text{[math]}$ ，解得0＜x＜1
函数f（x）的单调递增区间为：（-∞，0）和（1，+∞）
函数f（x）的单调递减区间为：（0，1）
（Ⅱ）考察反面情况：?x∈[2，+∞），f（x）≥g（x）恒成立
即 $\text{[math]}$ 在x∈[2，+∞）上恒成立
首先 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$
其次， $\text{[math]}$ 考虑 $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ 在x∈[2，+∞）上恒成立
∴ $\text{[math]}$ ∴当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$
∴h（x）在x∈[2，+∞）上递增，又h（2）≥0
∴ $\text{[math]}$ 在x∈[2，+∞）上恒成立，故 $\text{[math]}$
∴原题的结论为： $\text{[math]}$
分析：（I）求出函数的导数，通过导数值的符号确定函数的单调增区间与函数的单调减区间．
（Ⅱ）若在[2，+∞）上至少存在一点x₀，使得f（x₀）＜g（x₀）成立，求出否命题的范围即可，利用函数的导数确定函数的最小值大于0时，a的取值范围，然后求出原命题的a的范围．
点评：本题考查利用导数的符号讨论函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值以及函数恒成立问题，注意否命题的应用．