Question

8．已知曲线C₁：y²=tx （y＞0，t＞0）在点M（$\frac{4}{t}$，2）处的切线与曲线C₂：y=e^x+l-1也相切，则t的值为（　　）

• A． 4e²
• B． 4e
• C． $\frac{e^x}{4}$
• D． $\frac{e}{4}$

Answer 1

分析 求出y=$\sqrt{tx}$的导数，求出斜率，由点斜式方程可得切线的方程，设切点为（m，n），求出y=e^x+1-1的导数，可得切线的斜率，得到t的方程，解方程可得．

解答 解：曲线C₁：y²=tx（y＞0，t＞0），即有y=$\sqrt{tx}$，
y′=$\sqrt{t}$•$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，
在点M（$\frac{4}{t}$，2）处的切线斜率为$\sqrt{t}$•$\frac{1}{2\sqrt{\frac{4}{t}}}$=$\frac{t}{4}$，
可得切线方程为y-2=$\frac{t}{4}$（x-$\frac{4}{t}$），即y=$\frac{t}{4}$x+1，
设切点为（m，n），则曲线C₂：y=e^x+1-1，
y′=e^x+1，e^m+1=$\frac{t}{4}$，
∴m=ln$\frac{t}{4}$-1，n=m•$\frac{t}{4}$-1，n=e^m+1-1，
可得（ln$\frac{t}{4}$-1）•$\frac{t}{4}$-1=e${\;}^{ln\frac{t}{4}}$-1，
即有（ln$\frac{t}{4}$-1）•$\frac{t}{4}$=$\frac{t}{4}$，可得$\frac{t}{4}$=e²，
即有t=4e²．
故选：A．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用点斜式方程是解题的关键，注意转化思想的合理运用．