Question

9．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，BQ⊥AD，线段PC上是否存在点M，使得PA∥平面MQB？

Answer 1

分析 连接AC交BQ于N，连接MN，由相似三角形可得$\frac{AN}{AC}=\frac{1}{3}$，故当$\frac{PM}{PC}=\frac{1}{3}$时，PA∥MN，于是PA∥平面MQB．

解答 解：当M为PC的靠近P的三等分点时，PA∥平面MQB．
证明如下：连接AC交BQ于N，连接MN．
∵∠BAD=60°，BQ⊥AD，
∴AQ=ABcos60°=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}AD$，
∴Q为AD的中点．
∵AQ∥BC，
∴△AQN∽△CBN，
∴$\frac{AN}{CN}=\frac{AQ}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AN}{AC}=\frac{1}{3}$．又$\frac{PM}{PC}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{AN}{AC}=\frac{PM}{PC}$，∴MN∥PA，
又MN?平面MQB，PA?平面MQB，
∴PA∥平面MQB．

点评 本题考查了线面平行的判定，计算$\frac{AN}{AC}$是确定M点位置的关键，属于中档题，