Question

12．已知函数f（x）=$\frac{{（1-a）{x^2}-ax+a}}{e^x}$．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）x≥0时，f（x）的最大值为a，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由求导公式和法则求出f′（x），求出f′（1）和f（1）的值，由点斜式方程求出切线方程；
（2）将条件转化为f（x）≤a在[0，+∞）恒成立，利用构造函数法设$g（x）=\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}+{x}^{2}+x-1}$，由求导公式和法则求出g′（x），由函数与导数的关系，求出g（x）在区间[0，+∞）上的单调性，再求出最大值，即可求出实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=1时，$\left.\begin{array}{l}{f（x）=\frac{-x+1}{{e}^{x}}}\end{array}\right.$，
∴$\left.\begin{array}{l}{f′（x）=\frac{x-2}{{e}^{x}}，f′（1）=-\frac{1}{e}}\end{array}\right.$，且f（1）=0，
∴f（x）在（1，0）处的切线方程是：y=$-\frac{1}{e}（x-1）$，
即切线方程是x+ey-1=0；…（4分）
（2）∵x≥0时，f（x）的最大值为a，
∴等价于f（x）≤a对于x≥0恒成立，
即$a≥\frac{x^2}{{{e^x}+{x^2}+x-1}}$对于x≥0恒成立，
令$g（x）=\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}+{x}^{2}+x-1}$，则$g′（x）=\frac{x（x-2）（1-{e}^{x}）}{{（{e}^{x}+{x}^{2}+x-1）}^{2}}$，
由g′（x）=0得，x=2或x=0（舍去），
∴g（x）在[0，2]上单调递增，[2，+∞）上单调递减，
∴$g{（x）_{max}}=g（2）=\frac{4}{{{e^2}+5}}$，
∴$a的取值范围是[\frac{4}{{{e^2}+5}}，\left.{+∞}）$．…（12分）

点评 本题考查了导数与函数单调性、最值关系的应用，以及构造函数法，考查了转化思想，分析问题、解决问题的能力．