Question

14．设F₁，F为椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{{b}_{1}}^{2}}$=1，（a₁＞b₁＞0）与双曲线C₂的公共左、右焦点，它们在第一象限内交于点M，△MF₁F₂是以线段MF₁为底边的等腰三角形，且|MF₁|=2，若椭圆C₁的离心率e∈[$\frac{3}{8}$，$\frac{4}{9}$]，则双曲线C₂的离心率的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{5}{4}$，$\frac{5}{3}$]
• B． [$\frac{3}{2}$，++∞）
• C． （1，4]
• D． [$\frac{3}{2}$，4]

Answer 1

分析 如图所示，设双曲线C₂的离心率为e₁，椭圆与双曲线的半焦距为c．由椭圆的定义及其题意可得：|MF₂|=|F₁F₂|=2c，|MF₁|=2a-2c．由双曲线的定义可得：2a-2c-2c=2a₁，即a-2c=a₁，可得$\frac{1}{e}$-2=$\frac{1}{{e}_{1}}$，利用e∈[$\frac{3}{8}$，$\frac{4}{9}$]，即可得出双曲线C₂的离心率的取值范围．

解答 解：如图所示，
设双曲线C₂的离心率为e₁．
椭圆与双曲线的半焦距为c．
由椭圆的定义及其题意可得：|MF₂|=|F₁F₂|=2c，|MF₁|=2a-2c．
由双曲线的定义可得：2a-2c-2c=2a₁，即a-2c=a₁，
∴$\frac{1}{e}$-2=$\frac{1}{{e}_{1}}$，
∵e∈[$\frac{3}{8}$，$\frac{4}{9}$]，∴$\frac{1}{e}$∈[$\frac{9}{4}$，$\frac{8}{3}$]，
∴$\frac{1}{{e}_{1}}$∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{2}{3}$]．
∴e₁∈[$\frac{3}{2}$，4]．
故选：D．

点评 本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．