Question

如图，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p>0)上．

(1)求抛物线E的方程；

(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q.证明：以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．

 

Answer 1

（1）x2＝4y.（2）见解析

【解析】(1)依题意，OB＝8，∠BOy＝30°.设B(x，y)，则x＝OBsin30°＝4，y＝OBcos30°＝12.因为点B(4，12)在x2＝2py上，所以(4)2＝2p×12，解得p＝2.故抛物线E的方程为x2＝4y.

(2)由(1)知y＝x2，y′＝x.设P(x0，y0)，

则x0≠0，y0＝，且l的方程为y－y0＝x0(x－x0)，即y＝x0x－.

由得所以Q为.

设M(0，y1)，令·＝0对满足y0＝(x0≠0)的x0，y0恒成立．

由于＝(x0，y0－y1)，＝，

由·＝0，得－y0－y0y1＋y1＋＝0，即(＋y1－2)＋(1－y1)y0＝0.(*)

由于(*)式对满足y0＝(x0≠0)的y0恒成立，所以解得y1＝1.

故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0，1)．