Question

5．已知a，b，c为正实数，给出以下结论：
①若a-2b+3c=0，则$\frac{{b}^{2}}{ac}$的最小值是3；
②若a+2b+2ab=8，则a+2b的最小值是4；
③若a（a+b+c）+bc=4，则2a+b+c的最小是2$\sqrt{2}$；
④若a²+b²+c²=4，则$\sqrt{5}$ab+$\sqrt{2}$bc的最大值是2$\sqrt{7}$．
其中正确结论的序号是①②④．

Answer 1

分析 变形，利用基本不等式，分别进行判断，即可得出结论．

解答 解：①若a-2b+3c=0，则2b=a+3c≥2$\sqrt{3ac}$，∴b²≥3ac，∴$\frac{{b}^{2}}{ac}$≥3，∴$\frac{{b}^{2}}{ac}$的最小值是3，正确；
②设t=a+2b，则t＞0，由a+2b+2ab=8得2ab=8-（a+2b）≤$（\frac{a+2b}{2}）^{2}$，即8-t≤$\frac{{t}^{2}}{4}$，整理得t²+4t-32≥0，解得t≥4或t≤-8（舍去），即a+2b≥4，所以a+2b的最小值是4．正确；
③∵a，b，c＞0，∴a+c＞0，a+b＞0，∵a（a+b+c）+bc=a（a+b）+ac+bc=a（a+b）+c（a+b）=（a+c）（a+b）=4，∴2a+b+c=（a+b）+（a+c）≥2$\sqrt{（a+c）（a+b）}$=4，∴2a+b+c的最小值为4，不正确；
④若a²+b²+c²=4，则4=a²+$\frac{5}{7}$b²+$\frac{2}{7}$b²+c²≥2$\sqrt{\frac{5}{7}}$ab+2$\sqrt{\frac{2}{7}}$bc，∴$\sqrt{5}$ab+$\sqrt{2}$bc≤2$\sqrt{7}$，∴$\sqrt{5}$ab+$\sqrt{2}$bc的最大值是2$\sqrt{7}$，正确
综上所述，正确结论的序号是①②④．
故答案为：①②④．

点评 本题考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确运用基本不等式是关键．