Question

10．关于x的不等式$\frac{x+2}{k}$＞1+$\frac{x-3}{{k}^{2}}$（其中k∈R，k≠0）．
（1）若x=3在上述不等式的解集中，试确定k的取值范围；
（2）若k＞1时，上述不等式的解集是x∈（3，+∞），求k的值．

Answer 1

分析 （1）若x=3在上述不等式的解集中，即x=3，求解关于k的不等式$\frac{x+2}{k}$＞1+$\frac{x-3}{{k}^{2}}$即可．
（2）根据不等式与方程的思想求解，移项通分，化简，利用x=3求解k的值．

解答 解：（1）由题意：x=3时，不等式$\frac{x+2}{k}$＞1+$\frac{x-3}{{k}^{2}}$化简为$\frac{5}{k}＞1$，即$\frac{5}{k}-1＞0$，可得（5-k）k＞0，
解得：0＜k＜5．
∴当x=3在上述不等式的解集中，k的取值范围是（0，5）
（2）不等式$\frac{x+2}{k}$＞1+$\frac{x-3}{{k}^{2}}$化简可得$\frac{x+2}{k}＞\frac{{k}^{2}+x-3}{{k}^{2}}$（其中k∈R，k≠0）．
∵k＞1，
可得：$x+2＞\frac{{k}^{2}+x-3}{k}$?kx+2k＞k²+x-3
不等式的解集是x∈（3，+∞），∴x=3是方程kx+2k=k²+x-3的解．
即3k+2k=k²，
∵k≠0，
∴k=5．
故得若k＞1时，不等式的解集是x∈（3，+∞）时k的值为5．

点评 本题考查了分式不等式的化简和解法，不等式与方程的关系．属于基础题．