Question

20．已知a，b为实常数，{c_i}（i∈N^*）是公比不为1的等比数列，直线ax+by+c_i=0与抛物线y²=2px（p＞0）均相交，所成弦的中点为M_i（x_i，y_i），则下列说法错误的是（　　）

• A． 数列{x_i}可能是等比数列
• B． 数列{y_i}是常数列
• C． 数列{x_i}可能是等差数列
• D． 数列{x_i+y_i }可能是等比数列

Answer 1

分析 由直线ax+by+c_i=0，对系数a，b分类讨论，利用中点坐标公式可得M坐标，再利用等差数列与等比数列的定义通项公式即可判断出结论．

解答 解：由直线ax+by+c_i=0，当a=0，b≠0时，直线by+c_i=0与抛物线y²=2px（p＞0）仅有一个交点，不合题意．
当a≠0，b=0时，直线ax+c_i=0，化为：x=-$\frac{{c}_{i}}{a}$，则x_i=-$\frac{{c}_{i}}{a}$，y_i=0，x_i+y_i=-$\frac{{c}_{i}}{a}$，
由{c_i}（i∈N^*）是公比不为1的等比数列，可得{x_i }是等比数列，{x_i+y_i }是等比数列，不是等差数列．
当a≠0，b≠0时，直线ax+by+c_i=0化为：x=-$\frac{b}{a}$y-$\frac{{c}_{i}}{a}$，代入抛物线y²=2px（p＞0），∴y²+$\frac{2pb}{a}$y+$\frac{2p{c}_{i}}{a}$=0．
根据根与系数的关系可得：$（\frac{p{b}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{c}_{i}}{a}，-\frac{pb}{a}）$．{y_i }是常数列，是等比数列，是等差数列．
综上可得：A，B，D都有可能，只有C不可能．
故选：C．

点评 本题考查了直线方程、直线与抛物线相交问题、中点坐标公式、一元二次方程的根与系数的关系、等差数列与等比数列的定义通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．