Question

16．已知函数f（x）=x²-（2a+1）x+alnx（a∈R）．
（1）若a=1，求y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）在区间[1，2]上是单调函数，求实数a的取值范围；
（3）函数g（x）=（1-a）x，若?x₀∈[1，e]使得f（x₀）≥g（x₀）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出导函数，确定f′（1）=0，即可求y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）令f′（x）=0得x=$\frac{1}{2}$或x=a，利用f（x）在区间[1，2]上是单调函数，即可求实数a的取值范围；
（3）将恒成立的不等式变形，分离出a，构造函数，求出函数的单调性，求出最大值令a小于等于最大值即可．

解答 解：（1）a=1，f（x）=x²-3x+lnx，∴f′（x）=2x-3+$\frac{1}{x}$，f（1）=-2，
∴f′（1）=0，
∴y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0；
（2）f′（x）=$\frac{（2x-1）（x-a）}{x}$
令f′（x）=0得x=$\frac{1}{2}$或x=a．
∵f（x）在区间[1，2]上是单调函数，
∴a≥2或a≤1；
（3）令x²-（a+2）x+alnx≥0在[1，e]上有解．
即x²-2x≥a（x-lnx），由于x-lnx在[1，e]上为正数
∴问题转化为a≤$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$在[1，e]上有解
令h（x）=$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$，下求此函数在[1，e]的最大值
由于h′（x）=$\frac{（x-1）（x+2-2lnx）}{（x-lnx）^{2}}$＞0成立，∴h（x）=$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$在[1，e]上是增函数，
∴$h（x）_{max}=h（e）=\frac{{e}^{2}-2e}{e-1}$
故实数a的取值范围为a≤$\frac{{e}^{2}-2e}{e-1}$．

点评 解决不等式有解问题，常用的方法是分离参数，构造新函数，转化为求函数的最值；解决不等式恒成立问题也是分离参数转化为求函数的最值．