Question

16．如图，为测不可到达的河北岸C，D两点间的距离，在河南岸选取A，B两点，测得AB=100m，α=β=30°，γ=45°，θ=75°，试求C，D间的距离．

Answer 1

分析 在三角形CAB中，利用勾正弦定理，求出BC的长度，在三角形ABD中，求出BD的长度，在三角形CBD中，利用余弦定理求出CD的长度．

解答 解：∠CAB=60°，∠CBA=45°，∠ACB=75°
∴BC=$\frac{100sin60°}{sin75°}$=50（3$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$），
∠ADB=180°-∠DAB-∠DBA=180°-30°-105°=45°，
在△ADB中，∠DAB=30°，∠DBA=120°，∠ADB=30°
∴BD=AB=100m，
在△CBD中，CD²=BC²+BD²-2BC×BD×cos∠CBD
=[50（3$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$）]²+10000-2×50（3$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$）×100×$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$=40000-20000$\sqrt{3}$，
∴CD=10000（$\sqrt{3}$-1），
即C，D两点之间的距离为10000（$\sqrt{3}$-1）米．

点评 本题考查解三角形的实际应用，做这类是需要仔细观察，要求的量需要在哪个三角形中求，又需要哪些量，这些量又应该在哪些三角形中求，一一破解方可．