Question

4．已知函数$f（x）=\frac{1}{x+1}$，点O为坐标原点，点A_n（n，f（n）），n∈N^*，向量$\overrightarrow{i}$=（0，1），θ_n是向量$\overrightarrow{O{A_n}}$与$\overrightarrow{i}$的夹角，设s_n为数列$\{|\frac{cos{θ}_{n}}{sin{θ}_{n}}|\}$的前n项和，则s₂₀₁₆=$\frac{2016}{2017}$．

Answer 1

分析 通过将点A_n（n，α_n）（n∈N^*）代入$f（x）=\frac{1}{x+1}$化简可知A_n（n，$\frac{1}{n+1}$）（n∈N^*），进而利用向量可求|cosθ_n|=$\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}（n+1）^{2}+1}}$，通过平方关系可知|sinθ_n|=$\frac{n（n+1）}{\sqrt{{n}^{2}（n+1）^{2}+1}}$，进而裂项可知|$\frac{cos{θ}_{n}}{sin{θ}_{n}}$|=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，并项相加即得结论．

解答 解：∵由已知可得，α_n=$\frac{1}{n+1}$，即A_n（n，$\frac{1}{n+1}$）（n∈N^*），
又∵向量$\overrightarrow{i}$=（0，1），
∴|cosθ_n|=|$\frac{\overrightarrow{i}•\overrightarrow{O{A}_{n}}}{|\overrightarrow{i}|•|\overrightarrow{O{A}_{n}}|}$|=|$\frac{0+\frac{1}{n+1}}{1•\sqrt{{n}^{2}+\frac{1}{（n+1）^{2}}}}$|=$\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}（n+1）^{2}+1}}$，
由平方关系可知，|sinθ_n|=$\sqrt{1-co{s}^{2}{θ}_{n}}$=$\frac{n（n+1）}{\sqrt{{n}^{2}（n+1）^{2}+1}}$，
∴|$\frac{cos{θ}_{n}}{sin{θ}_{n}}$|=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴所求值为1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$=1-$\frac{1}{2017}$=$\frac{2016}{2017}$，
故答案为：$\frac{2016}{2017}$．

点评 本题考查数列的求和，涉及利用向量求夹角的余弦值、平方关系，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．