Question

11．若函数f（x）=ax³-bx+4，当x=2时，函数f（x）有极值-$\frac{4}{3}$．
（1）求函数的解析式；
（2）若g（x）=f（x）-k有三个零点，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数f（x）的导数f′（x），利用x=2时，函数f（x）有极值，列出方程组求出a、b的值即可；
（2）利用导数判断函数f（x）的单调性，求出f（x）的极值，结合函数的图象即可得出g（x）=f（x）-k有三个零点时k的取值范围．

解答 解：函数f（x）=ax³-bx+4，∴f′（x）=3ax²-b；…（1分）
（1）由题意得，当x=2时，函数f（x）有极值-$\frac{4}{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（2）=0}\\{f（2）=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{12a-b=0}\\{8a-2b+4=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
故所求函数的解析式为f（x）=$\frac{1}{3}$x³-4x+4；…（6分）
（2）由（1）得f′（x）=x²-4=（x-2）（x+2），
令f′（x）=0，得x=2或x=-2；…（8分）
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	图象上升	$\frac{28}{3}$	图象下降	-$\frac{4}{3}$	图象上升

因此，当x=-2时，f（x）有极大值$\frac{28}{3}$，
当x=2时，f（x）有极小值-$\frac{4}{3}$，
故要使g（x）=f（x）-k有三个零点，
实数k的取值范围为-$\frac{4}{3}$＜k＜$\frac{28}{3}$．…（12分）

点评 本题考查了利用导数研究函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数的极值与函数零点的应用问题，是综合性题目．