题目内容
如图，两射线AM，AN互相垂直，在射线AN上取一点B使AB的长为定值2a，在射线AN的左侧以AB为斜边作一等腰直角三角形ABC．在射线AM，AN上各有一个动点D，E满足△ADE与△ABC的面积之比为3：2，则| CD |
| ED |
[5a2，+∞）
[5a2，+∞）
．分析：以AM所在的直线为x轴，以AN所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，设除点D（m，0）、E（0，n），化简
•
=m2+ma+na．再由△ADE与△ABC的面积之比为3：2，求得n与m的关系．令f（m）=
•
，利用导数求得函数f（m）取得最小值为 f（m），即可得到
•
的取值范围．
| CD |
| ED |
| CD |
| ED |
| CD |
| ED |
解答：解：以AM所在的直线为x轴，以AN所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
由题意可得点C（-a，a），a＞0，A（0，0）、B（0，2a）．
设点D（m，0）、E（0，n），则有
=（m+a，-a）、
=（m，-n），∴
•
=m2+ma+na．
再由△ADE与△ABC的面积之比为3：2 可得
=
，∴mn=3a2，∴n=
．
令f（m）=
•
，则 f（m）=m2+ma+na=m2+ma+
，
故有 f′（m）=2m+a+
=
．
由于a＞0、m＞0，令 f′（m）＞0，解得 m＞a． 令f′（m）＜0 解得 0＜m＜a．
故函数f（m）在（0，a）上是减函数，在（a，+∞）上是增函数，
故当m=a时，函数f（m）取得最小值为 f（m）=5a2，故函数f（m）的值域为[5a2，+∞），
故答案为[5a2，+∞）．
由题意可得点C（-a，a），a＞0，A（0，0）、B（0，2a）．
设点D（m，0）、E（0，n），则有
| CD |
| ED |
| CD |
| ED |
再由△ADE与△ABC的面积之比为3：2 可得
| ||
|
| 3 |
| 2 |
| 3a2 |
| m |
令f（m）=
| CD |
| ED |
| 3a3 |
| m |
故有 f′（m）=2m+a+
| -3a3 |
| m2 |
| 2m3+am2-3a3 |
| m2 |
由于a＞0、m＞0，令 f′（m）＞0，解得 m＞a． 令f′（m）＜0 解得 0＜m＜a．
故函数f（m）在（0，a）上是减函数，在（a，+∞）上是增函数，
故当m=a时，函数f（m）取得最小值为 f（m）=5a2，故函数f（m）的值域为[5a2，+∞），
故答案为[5a2，+∞）．
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量坐标形式的运算，利用导数求函数的极值，属于中档题．
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