题目内容

7．已知函数f（x）=x3-3x，函数f（x）的图象在x=0处的切线方程是y=-3x；函数f（x）在区间[0，2]内的值域是[-2，2]．

分析 求出函数的导数，求出切线的斜率，切点坐标，求解切线方程，判断函数的单调性，然后求解在闭区间上的最值．

解答 解：函数f（x）=x3-3x，切点坐标（0，0），导数为：y′=3x2-3，切线的斜率为：-3，
所以切线方程为：y=-3x；
3x2-3=0，可得x=±1，x∈（-1，1），y′＜0，函数是减函数，x∈（1，+∞），y′＞0函数是增函数，
f（0）=0，f（1）=-2，f（2）=8-6=2，
函数f（x）在区间[0，2]内的值域是：[-2，2]．
故答案为：y=-3x；[-2，2]．

点评 本题考查函数的导数的应用，切线方程以及闭区间是的最值的求法，考查计算能力．

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