Question

16．如图是某圆拱桥的示意图．这个圆拱桥的水面跨度AB=24m，拱高OP=8m．现有一船，宽10m，水面以上高6m，这条船能从桥下通过吗？为什么？

Answer 1

分析 建立适当平面直角坐标系，如图所示，得出A，B，P，D，E各点坐标，设出圆的标准方程，将A，B，P坐标代入确定出这座圆拱桥的拱圆方程，把D横坐标代入求出纵坐标，与6比较即可作出判断．

解答 解：建立如图所示的坐标系，依题意，有A（-12，0），B（12，0），P（0，8），D（-5，0），E（5，0），
设所求圆的方程是（x-a）²+（y-b）²=r²，
于是有$\left\{\begin{array}{l}{（{a+12}）^2}+{b^2}={r^2}\\{（{a-12}）^2}+{b^2}={r^2}\\{a^2}+{（{b-8}）^2}={r^2}\end{array}\right.$，
解此方程组得a=0，b=-5，r=13，
∴这座圆拱桥的拱圆的方程是x²+（y+5）²=169（0≤y≤8），
把点D的横坐标x=-5代入上式，得y=7，
∵船在水面以上高6m，6＜7，
∴该船可以从桥下通过．

点评 此题考查了直线与圆的方程的应用，以及圆的标准方程，确定出这座圆拱桥的拱圆的方程是解本题的关键．