Question

8．已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆，离心率e=$\frac{1}{2}$，且椭圆过点（1，$\frac{3}{2}$）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）椭圆左，右焦点分别为F₁，F₂，过F₂的直线l与椭圆交于不同的两点A、B．
（1）求△F₁AB面积的最大值；
（2）△F₁AB的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线l方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意设出椭圆方程，再由已知列式求得a，b的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），不妨y₁＞0，y₂＜0，设直线l的方程为x=my+1，联立直线方程和椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，由根与系数的关系可得${S}_{△{F}_{1}AB}=\frac{1}{2}|{F}_{1}{F}_{2}||{y}_{1}-{y}_{2}|$=$\frac{12\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$，利用换元法结合基本不等式求得△F₁AB面积的最大值；
（2）设△F₁AB的内切圆的半径R，则△F₁AB的周长=4a=8，${S}_{△{F}_{1}AB}$=（|AB|+|F₁A|+|F₁B|）R=4R，因此${S}_{△{F}_{1}AB}$最大，R就最大，求出半径R的最大值，可得三角形面积的最大值，同时得到对应的直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）由题意设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得a²=4，b²=3．
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），不妨y₁＞0，y₂＜0，
由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3m²+4）y²+6my-9=0，
∴${y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{6m}{3{m}^{2}+4}，{y}_{1}{y}_{2}=-\frac{9}{3{m}^{2}+4}$，
则${S}_{△{F}_{1}AB}=\frac{1}{2}|{F}_{1}{F}_{2}||{y}_{1}-{y}_{2}|$=$\frac{12\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$，
令$\sqrt{{m}^{2}+1}=t$（t≥1），则${S}_{△{F}_{1}AB}=\frac{12t}{3{t}^{2}+1}=\frac{12}{3t+\frac{1}{t}}≤3$，
∴△F₁AB面积最大值为3；
（2）设△F₁AB的内切圆的半径R，
则△F₁AB的周长=4a=8，${S}_{△{F}_{1}AB}$=（|AB|+|F₁A|+|F₁B|）R=4R，
因此${S}_{△{F}_{1}AB}$最大，R就最大，
${S}_{△{F}_{1}AB}$=4R，∴R_max=$\frac{3}{4}$，这时所求内切圆面积的最大值为$\frac{9}{16}π$．
故直线l：x=1，△F₁AB内切圆面积的最大值为$\frac{9}{16}π$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查计算能力，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．