Question

已知(

3	x

-

1

x

)n的展开式中第2项的二项式系数与第3项的二项式系数之比为1：7．
（1）求n的值；
（2）求展开式中的常数项（用组合数表示）．

Answer 1

分析：（1）先求出二项式展开式的通项，根据第2项的二项式系数与第3项的二项式系数之比为1：7，可得

C 1 n

C 2 n

=

1

7

，由此解得n的值．
（2）在二项式展开式的通项中，令x的幂指数等于零，求得r的值，可得常数项．

解答：解：（1）由于二项式展开式的通项为Tr+1=

C

r n

(

3	x

)n-r(-

1

x

)r=

C

r n

(-1)rx

2n-5r

6

，
第2项的二项式系数与第3项的二项式系数之比为1：7．
∴

C 1 n

C 2 n

=

1

7

，
即

n

n(n-1) 2

=

1

7

，
即 

2

n-1

=

1

7

，
化简可得 n-1=14，解得n=15．
（2）由（1）得二项式展开式的通项为 Tr+1=

C

r 15

(-1)rx

30-5r

6

，
令

30-5r

6

=0，则r=6，
∴常数项为第7项，
即T6+1=

C

6 15

(-1)6=

C

6 15

．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．