Question

9．已知函数f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x-m}$．
（Ⅰ）讨论函数y=f（x）在x∈（m，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）若m∈（0，$\frac{1}{2}$），则当x∈[m，m+1]时，函数y=f（x）的图象是否总在函数g（x）=x²+x的图象上方？请写出判断过程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）求出f（x）在[m，m+1]的最小值，问题转化为判断e^x与（1+x）x的大小，根据函数的单调性判断即可．

解答 解：（Ⅰ）${f^'}（x）=\frac{{{e^x}（x-m）-{e^x}}}{{{{（x-m）}^2}}}=\frac{{{e^x}（x-m-1）}}{{{{（x-m）}^2}}}$，
当x∈（m，m+1）时，f′（x）＜0，当x∈（m+1，+∞）时，f′（x）＞0，
所以f（x）在（m，m+1）递减，在（m+1，+∞）递增；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在（m，m+1）递减，
所以其最小值为f（m+1）=e^m+1，
因为$m∈（0，\frac{1}{2}]$，g（x）在x∈[m，m+1]单调递增，最大值为g（m+1）=（m+1）²+m+1，
要判断函数y=f（x）的图象是否总在函数g（x）=x²+x的图象上方，只需验证f（m+1）≥g（m+1）是否成立，

所以下面判断f（m+1）与g（m+1）的大小，
f（m+1）-g（m+1）=e^m+1-（m+1）（m+2），m∈（0，$\frac{1}{2}$），
令h（m）=e^m+1-（m+1）（m+2），m∈（0，$\frac{1}{2}$），
h'（m）=e^m+1-2m-3，m∈（0，$\frac{1}{2}$），
h''（m）=e^m+1-2，m∈（0，$\frac{1}{2}$），
h''（m）＞0，
h'（m）在m∈（0，$\frac{1}{2}$）单调递增，存在t∈（0，$\frac{1}{2}$），使得h'（t）=0，
即e^t+1-2t-3=0，则t=$\frac{{e}^{t+1}-3}{2}$，
则h（m）的最小值为h（t）=e^t+1-（t+1）（t+2）=e^t+1-（$\frac{{e}^{t+1}-1}{2}$）（$\frac{{e}^{t+1}+1}{2}$）=e^t+1-$\frac{（{e}^{t+1}）^{2}-1}{4}$=$\frac{-（{e}^{t+1}-2）^{2}+5}{4}$，满足t∈（0，$\frac{1}{2}$）时h（t）＞0，
所以h（m）＞0在m∈（0，$\frac{1}{2}$）时恒成立，
所以函数y=f（x）的图象总在函数g（x）=x²+x图象上方．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的大小比较，是一道中档题．