Question

9．（1）已知圆C的方程为x²+y²=4，直线l过点P（1，2），且与圆C交于A、B两点．若|AB|=2$\sqrt{3}$，求直线l的方程；
（2）设直线l的方程为（a+1）x+y-2-a=0（a∈R）．若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）当直线l的斜率不存在时，直接联立直线方程和圆的方程，求出A，B的坐标，验证符合题意；当直线l的斜率存在时，设出直线方程，由已知结合垂径定理求出直线的斜率得答案；
（2）分直线过原点和不过原点求解，当直线l经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，当直线l不经过坐标原点，即a≠-2时，直线在两坐标轴上的截距相等，由此求得a值得答案．

解答 解：（1）当直线l的斜率不存在时，直线方程为x=1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，解得A（1，$-\sqrt{3}$），B（1，$\sqrt{3}$），符合题意；
当直线l的斜率k存在时，其方程可设为y-2=k（x-1），
又设圆心到直线l的距离为d，则d=$\frac{|2-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
由d²=r²-$（\sqrt{3}）^{2}$，得k=$\frac{3}{4}$，
代入y-2=k（x-1），得y-2=$\frac{3}{4}$（x-1），
即3x-4y+5=0．
∴直线l的方程为3x-4y+5=0和x=1；
（2）当直线l经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，
此时2+a=0，解得a=-2，此时直线l的方程为x-y=0；
当直线l不经过坐标原点，即a≠-2时，
由直线在两坐标轴上的截距相等可得：
$\frac{2+a}{a+1}$=2+a，解得a=0，此时直线l的方程为x+y-2=0．
∴直线l的方程为x-y=0或x+y-2=0．

点评 本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，是中档题．