Question

（本小题满分14分）设曲线在点处的切线斜率为，且。对一切实数，不等式恒成立

（Ⅰ）求的值。

（Ⅱ）求函数的表达式；

（Ⅲ）求证：

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）详见解析．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由对一切实数，不等式恒成立，令 即可；

（Ⅱ）由题意：，根据及恒成立建立关于的关系式即可确定的值进而得到函数的表达式；

（Ⅲ）由（Ⅱ）的结果知：

于是可利用，运用放缩法证明不等式成立；也可根据所证不等式的特点用数学归纳法证明．

试题解析：【解析】
（Ⅰ）由对一切实数，不等式恒成立

得 ， 3分

（Ⅱ）

由得 得 5分

又恒成立

则由恒成立得 7分

同理由恒成立得 8分

综上， 9分

（Ⅲ） 10分

要证原不等式，即证： 11分

14分

注：第（Ⅲ）小题也可用数学归纳法证明。

考点：1、导数的几何意义；2、函数解析式的求法；3、数列求和与不等式的证明．