Question

13．已知双曲线与椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1共焦点，它们的离心率之和为$\frac{14}{5}$，双曲线的方程应是（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{12}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1
• C． $\frac{{y}^{2}}{4}$-$\frac{{x}^{2}}{12}$=1
• D． $\frac{{y}^{2}}{12}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1

Answer 1

分析 由椭圆方程求出双曲线的焦点坐标，及椭圆的离心率，结合题意进一步求出双曲线的离心率，从而得到双曲线的实半轴长，再结合隐含条件求得双曲线的虚半轴长得答案．

解答 解：由椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1，得a²=25，b²=9，
则c²=a²-b²=16，
∴双曲线与椭圆的焦点坐标为F₁（0，-4），F₂（0，4），
∴椭圆的离心率为$\frac{4}{5}$，则双曲线的离心率为$\frac{14}{5}-\frac{4}{5}=2$．
设双曲线的实半轴长为m，则$\frac{4}{m}=2$，得m=2，
则虚半轴长n=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}=2\sqrt{3}$，
∴双曲线的方程是$\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{x}^{2}}{12}=1$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线方程的求法，考查了椭圆与双曲线的简单性质，是中档题．