Question

2．已知等比数列{a_n}中，各项都是正数，且a₁，$\frac{1}{2}$a₃，2a₂成等差数列，则$\frac{{a}_{6}+{a}_{7}}{{a}_{8}+{a}_{9}}$等于（　　）

• A． 1+$\sqrt{2}$
• B． 1-$\sqrt{2}$
• C． 3+2$\sqrt{2}$
• D． 3-2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据所给的三项成等差数列，写出关系式，得到公比的值，把要求的代数式整理成只含有首项和公比的形式，进一步化简计算得到结果．

解答 解：∵a₁，$\frac{1}{2}$a₃，2a₂成等差数列，
∴a₃=a₁+2a₂，
∴q²-2q-1=0，
∴q=1+$\sqrt{2}$，q=1-$\sqrt{2}$（舍去），
∴$\frac{{a}_{6}+{a}_{7}}{{a}_{8}+{a}_{9}}$=$\frac{{q}^{5}+{q}^{6}}{{q}^{7}+{q}^{8}}$=$\frac{1+q}{{q}^{2}+{q}^{3}}$=$\frac{1}{{q}^{2}}$=$\frac{1}{（1+\sqrt{2}）^{2}}$=$\frac{1}{3+2\sqrt{2}}$=3-2$\sqrt{2}$，
故选：D．

点评 本题主要考查了等差数列和等比数列的性质，考查了学生综合分析的能力和对基础知识的理解，是基础题．