Question

9．若函数f（x）=ax³-bx+4，当x=2时，函数f（x）有极值-$\frac{4}{3}$．
（1）求函数的解析式．
（2）判断函数的极值点并求极大值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，解出即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．

解答 解：（1）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{f′（2）=12a-b=0}\\{f（2）=8a-2b+4=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$；
故函数的解析式是f（x）=$\frac{1}{3}$x³-4x+4；
（2）由（1）可得f′（x）=x²-4=（x-2）（x+2），
令f′（x）=0，得x=2或x=-2．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如表：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	$\frac{28}{3}$	↘	-$\frac{4}{3}$	↗

因此，当x=-2时，f（x）有极大值$\frac{28}{3}$，
当x=2时，f（x）有极小值-$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．