Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{b_n}的第二项，第三项，第四项．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}满足对任意的自然数n均有

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=a_n+1成立，求c₁+c₂+c₃+…+c₂₀₁₄的值．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题意得（a₁+d）（a₁+13d）=（a₁+4d）²，从而得到d=2，进而求出a_n=2n-1，由等比数列性质得

b1q=3 b1q2=9

，由此能求出b_n=3^n-1．
（2）当n=1时，c₁=a₂×b₁=3×1=3，当n≥2时，

cn

bn

=a_n+1-a_n=2（n+1）-2n=2，从而c_n=2b_n=2•3^n-1，由此能求出c₁+c₂+c₃+…+c₂₀₁₄的值．

解答： 解：（1）由题意得（a₁+d）（a₁+13d）=（a₁+4d）²，（d＞0）
∵a₁=1，∴d=2，
∴a_n=2n-1，
∵b₂=a₂=1+2=3，b₃=a₅=1+8=9，
∴

b1q=3 b1q2=9

，∴b₁=1，q=3，
∴b_n=3^n-1．
（2）∵

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=a_n+1，
∴当n=1时，c₁=a₂×b₁=3×1=3，
当n≥2时，

cn

bn

=a_n+1-a_n=2（n+1）-2n=2，
∴c_n=2b_n=2•3^n-1，
∴c₁+c₂+c₃+…+c₂₀₁₄
=3+2（3+3²+3³+…+3²⁰¹³）
=3+2×

3(1-32013)

1-3

=3+3²⁰¹⁴-3
=3²⁰¹⁴．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．