题目内容
2．已知{an}满足a1=1，an+an+1=（$\frac{1}{4}$）n（n∈N*），Sn=a1+4a2+42a3+…+4n-1an，则5Sn-4nan=（ ）| A． | n-1 | B． | n | C． | 2n | D． | n2 |
分析 an+an+1=（$\frac{1}{4}$）n（n∈N*），变形为：an+1-$\frac{4}{5}（\frac{1}{4}）^{n+1}$=-$[{a}_{n}-\frac{4}{5}（\frac{1}{4}）^{n}]$，利用等比数列通项公式即可得出．
解答 解：∵an+an+1=（$\frac{1}{4}$）n（n∈N*），
∴an+1-$\frac{4}{5}（\frac{1}{4}）^{n+1}$=-$[{a}_{n}-\frac{4}{5}（\frac{1}{4}）^{n}]$，
∴数列$\{{a}_{n}-\frac{4}{5}（\frac{1}{4}）^{n}\}$是等比数列，首项为$\frac{4}{5}$，公比为-1．
∴an=$\frac{4}{5}（\frac{1}{4}）^{n}$+$\frac{4}{5}$×（-1）n-1．
4n-1an=$\frac{1}{5}$+（-1）n-1×$\frac{1}{5}$×4n．
4nan=$\frac{4}{5}$+（-1）n-1×$\frac{{4}^{n+1}}{5}$．
∴5Sn=n-$\frac{-4[1-（-4）^{n}]}{1-（-4）}$=n+$\frac{4}{5}$-$\frac{（-4）^{n}}{5}$．
∴5Sn-4nan=n．
故选：B．
点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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